GraphvizFiddle (viz.js 2.1.2 release, with circo/dot/fdp/neato/osage/twopi engines)

GraphvizFiddle draws DOT language [directed] graphs, see DOT User's Guide (on http://graphviz.org/).
It is an online code editor and playground for Graphviz dot layout tool, see blog posting for details.

After drawing the layout, engine and format will snap back to defaults (dot/svg).
Adding eg. "layout=neato" setting to (di)graph (for "Share" links) overrides engine selection.
Choose the engine and format you want and press "Draw". (NEATO User's Guide, engine manpage)
Engine specific settings (eg. "overlap") don't hurt for engines not supporting them (eg. "dot").

/*
    fsm for JSON "number" (http://tools.ietf.org/search/rfc4627#page-4)
*/
digraph G {
  size="12,12"; rankdir=LR;

node[style=invis] A;B;C;D;E;F;G; node[style=solid];

{ rank=same; "A"; "F"; "1"; } { rank=same; "E"; "G"; "11" }
  { rank=same; "B"; "2"; } { rank=same; "C"; "4"; } { rank=same; "D"; "7"; }

"F" -> "G" [label="number\n(rfc4627)"]; 
  "A" -> "B" [label="[minus]"]; "B" -> "C" [label="int"]; 
  "C" -> "D" [label="[frac]"]; "D" -> "E" [label="[exp]"];
  "1" -> "2" [label=""]; "1" -> "2" [label="%x2D"]; "2" -> "4" [label="%x30"];
  "2" -> "3" [label="%x31-39"]; "3" -> "3" [label="%x30-39"];
  "3" -> "4" [label=""]; "4" -> "7" [label=""]; "4" -> "5" [label="%x2E"];
  "5" -> "6" [label="%x30-39"]; "6" -> "6" [label="%x30-39"];
  "6" -> "7" [label=""]; "7" -> "11" [label=""];
  "7" -> "8" [label="%x65"]; "7" -> "8" [label="%x45"];
  "8" -> "9" [label=""]; "8" -> "9" [label="%x2B"]; "8" -> "9" [label="%x2D"];
  "9" -> "10" [label="%x30-39"];
  "10" -> "10" [label="%x30-39"]; "10" -> "11" [label=""];
}

// complete f(x)=x² mod 221 graph for Pollard's rho method
digraph G { size="64,12";rankdir=BT;
overlap=false; // for drawing with "neato" or "twopi" engine
0->0;1->1;2->4;3->9;4->16;5->25;6->36;7->49;8->64;9->81;10->100;11->121;15->4;
13->169;14->196;12->144;16->35;17->68;18->103;19->140;20->179;21->220;22->42;
23->87;24->134;25->183;26->13;27->66;28->121;29->178;30->16;31->77;32->140;
33->205;34->51;35->120;36->191;37->43;38->118;39->195;40->53;41->134;42->217;
43->81;44->168;45->36;46->127;47->220;48->94;49->191;50->69;51->170;52->52;
53->157;54->43;55->152;56->42;57->155;58->49;59->166;60->64;61->185;62->87;
63->212;64->118;65->26;66->157;67->69;68->204;69->120;70->38;71->179;72->101;
73->25;74->172;75->100;76->30;77->183;78->117;79->53;80->212;81->152;82->94;
83->38;84->205;85->153;86->103;87->55;88->9;89->186;90->144;91->104;92->66;
93->30;94->217;95->185;96->155;97->127;98->101;99->77;100->55;101->35;102->17;
103->1;104->208;105->196;106->186;107->178;108->172;109->168;110->166;111->166;
112->168;113->172;114->178;115->186;116->196;117->208;118->1;119->17;120->35;
121->55;122->77;123->101;124->127;125->155;126->185;127->217;128->30;129->66;
130->104;131->144;132->186;133->9;134->55;135->103;136->153;137->205;138->38;
139->94;140->152;141->212;142->53;143->117;144->183;145->30;146->100;147->172;
148->25;149->101;150->179;151->38;152->120;153->204;154->69;155->157;156->26;
157->118;158->212;159->87;160->185;161->64;162->166;163->49;164->155;165->42;
166->152;167->43;168->157;169->52;170->170;171->69;172->191;173->94;174->220;
175->127;176->36;177->168;178->81;179->217;180->134;181->53;182->195;183->118;
184->43;185->191;186->120;187->51;188->205;189->140;190->77;191->16;192->178;
193->121;194->66;195->13;196->183;197->134;198->87;199->42;200->220;201->179;
202->140;203->103;204->68;205->35;206->4;207->196;208->169;209->144;210->121;
211->100;212->81;213->64;214->49;215->36;216->25;217->16;218->9;219->4;220->1;}

digraph "unix" {
	graph [	fontname = "Helvetica-Oblique",
		fontsize = 36,
		label = "\n\n\n\nObject Oriented Graphs\nStephen North, 3/19/93",
		size = "6,6" 
//		size = "9,9" 
             ];
	node [	shape = polygon,
		sides = 4,
		distortion = "0.0",
		orientation = "0.0",
		skew = "0.0",
		color = white,
		style = filled,
		fontname = "Helvetica-Outline" ];
	"5th Edition" [sides=9, distortion="0.936354", orientation=28, skew="-0.126818", color=salmon2];
	"6th Edition" [sides=5, distortion="0.238792", orientation=11, skew="0.995935", color=deepskyblue];
	"PWB 1.0" [sides=8, distortion="0.019636", orientation=79, skew="-0.440424", color=goldenrod2];
	LSX [sides=9, distortion="-0.698271", orientation=22, skew="-0.195492", color=burlywood2];
	"1 BSD" [sides=7, distortion="0.265084", orientation=26, skew="0.403659", color=gold1];
	"Mini Unix" [distortion="0.039386", orientation=2, skew="-0.461120", color=greenyellow];
	Wollongong [sides=5, distortion="0.228564", orientation=63, skew="-0.062846", color=darkseagreen];
	Interdata [distortion="0.624013", orientation=56, skew="0.101396", color=dodgerblue1];
	"Unix/TS 3.0" [sides=8, distortion="0.731383", orientation=43, skew="-0.824612", color=thistle2];
	"PWB 2.0" [sides=6, distortion="0.592100", orientation=34, skew="-0.719269", color=darkolivegreen3];
	"7th Edition" [sides=10, distortion="0.298417", orientation=65, skew="0.310367", color=chocolate];
	"8th Edition" [distortion="-0.997093", orientation=50, skew="-0.061117", color=turquoise3];
	"32V" [sides=7, distortion="0.878516", orientation=19, skew="0.592905", color=steelblue3];
	V7M [sides=10, distortion="-0.960249", orientation=32, skew="0.460424", color=navy];
	"Ultrix-11" [sides=10, distortion="-0.633186", orientation=10, skew="0.333125", color=darkseagreen4];
	Xenix [sides=8, distortion="-0.337997", orientation=52, skew="-0.760726", color=coral];
	"UniPlus+" [sides=7, distortion="0.788483", orientation=39, skew="-0.526284", color=darkolivegreen3];
	"9th Edition" [sides=7, distortion="0.138690", orientation=55, skew="0.554049", color=coral3];
	"2 BSD" [sides=7, distortion="-0.010661", orientation=84, skew="0.179249", color=blanchedalmond];
	"2.8 BSD" [distortion="-0.239422", orientation=44, skew="0.053841", color=lightskyblue1];
	"2.9 BSD" [distortion="-0.843381", orientation=70, skew="-0.601395", color=aquamarine2];
	"3 BSD" [sides=10, distortion="0.251820", orientation=18, skew="-0.530618", color=lemonchiffon];
	"4 BSD" [sides=5, distortion="-0.772300", orientation=24, skew="-0.028475", color=darkorange1];
	"4.1 BSD" [distortion="-0.226170", orientation=38, skew="0.504053", color=lightyellow1];
	"4.2 BSD" [sides=10, distortion="-0.807349", orientation=50, skew="-0.908842", color=darkorchid4];
	"4.3 BSD" [sides=10, distortion="-0.030619", orientation=76, skew="0.985021", color=lemonchiffon2];
	"Ultrix-32" [distortion="-0.644209", orientation=21, skew="0.307836", color=goldenrod3];
	"PWB 1.2" [sides=7, distortion="0.640971", orientation=84, skew="-0.768455", color=cyan];
	"USG 1.0" [distortion="0.758942", orientation=42, skew="0.039886", color=blue];
	"CB Unix 1" [sides=9, distortion="-0.348692", orientation=42, skew="0.767058", color=firebrick];
	"USG 2.0" [distortion="0.748625", orientation=74, skew="-0.647656", color=chartreuse4];
	"CB Unix 2" [sides=10, distortion="0.851818", orientation=32, skew="-0.020120", color=greenyellow];
	"CB Unix 3" [sides=10, distortion="0.992237", orientation=29, skew="0.256102", color=bisque4];
	"Unix/TS++" [sides=6, distortion="0.545461", orientation=16, skew="0.313589", color=mistyrose2];
	"PDP-11 Sys V" [sides=9, distortion="-0.267769", orientation=40, skew="0.271226", color=cadetblue1];
	"USG 3.0" [distortion="-0.848455", orientation=44, skew="0.267152", color=bisque2];
	"Unix/TS 1.0" [distortion="0.305594", orientation=75, skew="0.070516", color=orangered];
	"TS 4.0" [sides=10, distortion="-0.641701", orientation=50, skew="-0.952502", color=crimson];
	"System V.0" [sides=9, distortion="0.021556", orientation=26, skew="-0.729938", color=darkorange1];
	"System V.2" [sides=6, distortion="0.985153", orientation=33, skew="-0.399752", color=darkolivegreen4];
	"System V.3" [sides=7, distortion="-0.687574", orientation=58, skew="-0.180116", color=lightsteelblue1];
	"5th Edition" -> "6th Edition";
	"5th Edition" -> "PWB 1.0";
	"6th Edition" -> LSX;
	"6th Edition" -> "1 BSD";
	"6th Edition" -> "Mini Unix";
	"6th Edition" -> Wollongong;
	"6th Edition" -> Interdata;
	Interdata -> "Unix/TS 3.0";
	Interdata -> "PWB 2.0";
	Interdata -> "7th Edition";
	"7th Edition" -> "8th Edition";
	"7th Edition" -> "32V";
	"7th Edition" -> V7M;
	"7th Edition" -> "Ultrix-11";
	"7th Edition" -> Xenix;
	"7th Edition" -> "UniPlus+";
	V7M -> "Ultrix-11";
	"8th Edition" -> "9th Edition";
	"1 BSD" -> "2 BSD";
	"2 BSD" -> "2.8 BSD";
	"2.8 BSD" -> "Ultrix-11";
	"2.8 BSD" -> "2.9 BSD";
	"32V" -> "3 BSD";
	"3 BSD" -> "4 BSD";
	"4 BSD" -> "4.1 BSD";
	"4.1 BSD" -> "4.2 BSD";
	"4.1 BSD" -> "2.8 BSD";
	"4.1 BSD" -> "8th Edition";
	"4.2 BSD" -> "4.3 BSD";
	"4.2 BSD" -> "Ultrix-32";
	"PWB 1.0" -> "PWB 1.2";
	"PWB 1.0" -> "USG 1.0";
	"PWB 1.2" -> "PWB 2.0";
	"USG 1.0" -> "CB Unix 1";
	"USG 1.0" -> "USG 2.0";
	"CB Unix 1" -> "CB Unix 2";
	"CB Unix 2" -> "CB Unix 3";
	"CB Unix 3" -> "Unix/TS++";
	"CB Unix 3" -> "PDP-11 Sys V";
	"USG 2.0" -> "USG 3.0";
	"USG 3.0" -> "Unix/TS 3.0";
	"PWB 2.0" -> "Unix/TS 3.0";
	"Unix/TS 1.0" -> "Unix/TS 3.0";
	"Unix/TS 3.0" -> "TS 4.0";
	"Unix/TS++" -> "TS 4.0";
	"CB Unix 3" -> "TS 4.0";
	"TS 4.0" -> "System V.0";
	"System V.0" -> "System V.2";
	"System V.2" -> "System V.3";
}

digraph g {
graph [
rankdir = "LR" 
//rankdir = "TB"
];
node [
fontsize = "16"
shape = "ellipse"
];
edge [
];
"node0" [
label = "<f0> 0x10ba8| <f1>"
shape = "record"
];
"node1" [
label = "<f0> 0xf7fc4380| <f1> | <f2> |-1"
shape = "record"
];
"node2" [
label = "<f0> 0xf7fc44b8| | |2"
shape = "record"
];
"node3" [
label = "<f0> 3.43322790286038071e-06|44.79998779296875|0"
shape = "record"
];
"node4" [
label = "<f0> 0xf7fc4380| <f1> | <f2> |2"
shape = "record"
];
"node5" [
label = "<f0> (nil)| | |-1"
shape = "record"
];
"node6" [
label = "<f0> 0xf7fc4380| <f1> | <f2> |1"
shape = "record"
];
"node7" [
label = "<f0> 0xf7fc4380| <f1> | <f2> |2"
shape = "record"
];
"node8" [
label = "<f0> (nil)| | |-1"
shape = "record"
];
"node9" [
label = "<f0> (nil)| | |-1"
shape = "record"
];
"node10" [
label = "<f0> (nil)| <f1> | <f2> |-1"
shape = "record"
];
"node11" [
label = "<f0> (nil)| <f1> | <f2> |-1"
shape = "record"
];
"node12" [
label = "<f0> 0xf7fc43e0| | |1"
shape = "record"
];
"node0":f0 -> "node1":f0 [
id = 0
];
"node0":f1 -> "node2":f0 [
id = 1
];
"node1":f0 -> "node3":f0 [
id = 2
];
"node1":f1 -> "node4":f0 [
id = 3
];
"node1":f2 -> "node5":f0 [
id = 4
];
"node4":f0 -> "node3":f0 [
id = 5
];
"node4":f1 -> "node6":f0 [
id = 6
];
"node4":f2 -> "node10":f0 [
id = 7
];
"node6":f0 -> "node3":f0 [
id = 8
];
"node6":f1 -> "node7":f0 [
id = 9
];
"node6":f2 -> "node9":f0 [
id = 10
];
"node7":f0 -> "node3":f0 [
id = 11
];
"node7":f1 -> "node1":f0 [
id = 12
];
"node7":f2 -> "node8":f0 [
id = 13
];
"node10":f1 -> "node11":f0 [
id = 14
];
"node10":f2 -> "node12":f0 [
id = 15
];
"node11":f2 -> "node1":f0 [
id = 16
];
}

digraph G {
	graph [center=1 rankdir=LR bgcolor="#808080"]
	edge [dir=none]
	node [width=0.3 height=0.3 label=""]
	{ node [shape=circle style=invis]
		1 2 3 4 5 6 7 8  10 20 30 40 50 60 70 80
	}
	{ node [shape=circle]
		a b c d e f g h  i j k l m n o p  q r s t u v w x
	}
	{ node [shape=diamond]
		A B C D E F G H  I J K L M N O P  Q R S T U V W X
	}
	1 -> a -> {A B} [color="#0000ff"]
//	1 -> a -> {A B} [color="#c0c0ff"]
	2 -> b -> {B A} [color="#ff0000"]
	3 -> c -> {C D} [color="#ffff00"]
	4 -> d -> {D C} [color="#00ff00"]
	5 -> e -> {E F} [color="#000000"]
	6 -> f -> {F E} [color="#00ffff"]
	7 -> g -> {G H} [color="#ffffff"]
	8 -> h -> {H G} [color="#ff00ff"]
	{ edge [color="#ff0000:#0000ff"]
		A -> i -> {I K}
		B -> j -> {J L}
	}
	{ edge [color="#00ff00:#ffff00"]
		C -> k -> {K I}
		D -> l -> {L J}
	}
	{ edge [color="#00ffff:#000000"]
		E -> m -> {M O}
		F -> n -> {N P}
	}
	{ edge [color="#ff00ff:#ffffff"]
		G -> o -> {O M}
		H -> p -> {P N}
	}
	{ edge [color="#00ff00:#ffff00:#ff0000:#0000ff"]
		I -> q -> {Q U}
		J -> r -> {R V}
		K -> s -> {S W}
		L -> t -> {T X}
	}
	{ edge [color="#ff00ff:#ffffff:#00ffff:#000000"]
		M -> u -> {U Q}
		N -> v -> {V R}
		O -> w -> {W S}
		P -> x -> {X T}
	}
	{ edge [color="#ff00ff:#ffffff:#00ffff:#000000:#00ff00:#ffff00:#ff0000:#0000ff"]
		Q -> 10
		R -> 20
		S -> 30
		T -> 40
		U -> 50
		V -> 60
		W -> 70
		X -> 80
	}
}

digraph D {
 node [shape=box]
 
 Menge[label="set X",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#section.229"]
 my[shape=none,label=< work in progress: translation German → English my math lectures >,URL="../index.html#_math"]
 uniheidelberg[shape=none,label=<   algebraic structures from Heidelberg University fall 2025 linear algebra 1 lecture 
 allowed cheat sheet for lecture exam (German language)(link) 
 
 click in any box jumps to definition in lecture script (German language)>,
 URL="index.html?12345#_LA1deutsch"]
 Halbgruppe[label="semigroup (X,+)",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#subsection.814"]
 Unterhalbgruppe[label="subsemigroup (U,+)",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.865"]
 Untermonoid[label="submonoid (U,+)",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.865"]
 foo1 [ shape=none, fontcolor=blue, label=<
 subgroup criterion 
 Es sei (𝐺, ★) eine Gruppe und 𝑈 ⊆ 𝐺. Dann sind äquivalent: 
 (𝑖) (𝑈 , ★) ist eine Untergruppe von (𝐺, ★). 
 (𝑖𝑖) 𝑈 ≠ ∅, und für alle 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑈 gilt 𝑎 ★ 𝑏′ ∈ 𝑈. 
 (𝑖𝑖𝑖) 𝑈 ≠ ∅, und für alle 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑈 gilt 𝑎′ ★ 𝑏 ∈ 𝑈.>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1006"]
 Untergruppe[label="subgroup (U,+)",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#subsection.999"]
 von_E_erzeugt[label=<ᐸEᐳ subgroup generated by E ={a₁+...+aₙ|n∈ ℕ₀, aᵢ∈E∪E'}>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1036"] 
 von_a_erzeugt[label=<ᐸaᐳ subgroup generated by a>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1036"] 
 Kommutatoruntergruppe[label=<Kommutatoruntergruppe ᐸ{[a,b]|a,b∈U}ᐳ [a,b] := (a+b) + (b+a)'>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=108"] 
 zyklische_Gruppe[label="cyclic group",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1036"]
 foo5 [ shape=none, fontcolor=blue, label=<
 group criterion („Latin Square Property“) 
 (𝑖) Ist (𝐺, ★) eine Gruppe, so sind die Links- und Rechtstranslationen ★𝑎 und 𝑎★ für alle 
 𝑎 ∈ 𝐺 bijektive Abbildungen 𝐺 → 𝐺. 
 (𝑖𝑖) Ist (𝐻, ★) eine nichtleere Halbgruppe und gilt für alle 𝑎 ∈ 𝐻 , dass die Links- und Recht- 
 stranslationen ★𝑎 und 𝑎★ surjektive Abbildungen sind, dann ist (𝐻, ★) eine Gruppe.>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.947"]
 abelsche_Gruppe[label="abelian group",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.952"]
 Homomorphiesatz[shape=none,color=blue,fontcolor=blue,
 label=<Homomorphiesatz für Gruppen (G₁,★), (G₂,□) Gruppen, f:G₁→G₂ Homomorphismus 
 Dann G₁/Kern(f)≅Bild(f) mit Isomorphismus I([a]):=f(a) für [a]=a★Kern(f)∈G₁/Kern(f)>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1223"]
 HomomorphiesatzR[shape=none,color=blue,fontcolor=blue,
 label=<Homomorphiesatz für Ringe (R₁,+₁,⋅₁), (R₂,+₂,⋅₂) Ringe, f:R₁→R₂ Homomorphismus 
 Dann R₁/Kern(f)≅Bild(f) mit Isomorphismus I([a]):=f(a) für [a]=a+₁Kern(f)∈R₁/Kern(f)>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=135"]
 Ring[label="Ring (X,+,⋅)",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#section.1240"]
 Nullring [ label="Nullring\neinziger mit char(X)=1",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1249"]
 foo2 [ shape=none, fontcolor=blue, label=<Unterringkriterium 
 Es sei (𝑅, +, ·) ein Ring und 𝑈 ⊆ 𝑅. Dann sind äquivalent: 
 (𝑖) (𝑈 , +, ·) ist ein Unterring von (𝑅, +, ·). 
 (𝑖𝑖) 𝑈 ≠ ∅, und für alle 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑈 gilt 𝑎 − 𝑏 ∈ 𝑈 und 𝑎 · 𝑏 ∈ 𝑈.>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1308"]
 Unterring[label="Unterring (U,+,⋅)",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1303"]
 kommutativer_Ring[label="kommutativer Ring",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#section.1240"]
 nullteilerfreier_Ring[label="nullteilerfreier Ring",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=121"]
 Endoring [label="Endomorphismenring (End(G),+,∘)\nEnd(G):={f:G→G| f ist Endomorphismus}",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=117"]
 Ring_mit_Eins[label="Ring mit Eins",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=117"]
 null[shape=point]
 von_E_erzeugt_I[label=<(E) von E erzeugtes Ideal wie erz. UG, aber mit aᵢ∈E∪-E∪XE∪EX∪XEX>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1401"] 
 von_a_erzeugt_I[label=<(a) von a erzeugtes Hauptideal>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1401"] 
 Kommutatorideal[label=<Kommutatorideal ({[a,b]|a,b∈U}) [a,b] := a⋅b - b⋅a>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=134"] 
 Faktorgruppe[label="Faktorgruppe (X/U,⨤)\n[e]=U, [a]'=[a']\nkan. Surj. π: a→[a]\n(X,*) abelsch ⟹ (X/U,⨤) abelsch",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1195"]
 Faktorring[label="Faktorring (X/U,⨤,⸟)\n[0]=U, ≃[a]=[-a]\nkan. Surj. π: a→[a]\nX komm. R. ⟹ X/U kommutativ",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=130"]

Monoid[label="monoid",
    URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=71"]
  Gruppe[label="group",
    URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#subsection.919"]
  Ordnung[shape=ellipse,label="order",
    URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page.92"]
  Normalteiler[label="Normalteiler",
    URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1166"]
  Erzeugendensystem [label="generating set",
    URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1036"]
  EindeutGruppHom [shape=ellipse,label="uniqueness theorem for\ngroup homomorphisms",
    URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1036"]
  Ideal[label="Ideal",
    URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1359"]

Integritätsring[label="Integritätsring",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=121"]
 Körper[label="Körper\nspez. komm. Ring mit 1≠0, Distr. G. fallen zus.\n(X,+,·) Körper, M Menge, #Mᐳ1 ⟹ (Xᴹ,+,·) kein K.",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1439"]
 foo3 [ shape=none, fontcolor=blue, label=<
 Unterkörperkriterium 
 Es sei (𝐾, +, ·) ein Körper und 𝑈 ⊆ 𝐾. Dann sind äquivalent: 
 (𝑖) (𝑈 , +, ·) ist ein Unterkörper von (𝐾, +, ·). 
 (𝑖𝑖) 𝑈 besitzt mindestens zwei Elemente, und für alle 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑈 gilt 𝑎 − 𝑏 ∈ 𝑈 sowie 𝑎 · 𝑏⁻¹ ∈ 𝑈 , sofern 𝑏 ≠ 0ₖ ist.>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1464"]
 Unterkörper[label="Unterkörper (U,+,⋅)\nf Körperhomomorphismus, dann ist\nBild(f) Unterkörper, aber nicht Kern(f)",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1461"]
 geordneter_Körper[label="geordneter Körper\ninsbes. char(X)=0\nℂ mit keinem ≤ g.K. wegen i²=-1ᐸ0",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1510"]
 CharakteristikR [shape=ellipse,label="Charakteristik",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page.119"]
 CharakteristikK [shape=ellipse,label="Charakteristik",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page.137"]

Vektorraum [label="Vektorraum (V,⊕,⊙)\nüber Körper (K,+,·)",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1537"]
 Nullraum [shape=none, color=blue, fontcolor=blue, margin=0, label=<
 <TABLE BORDER="0" CELLBORDER="1" CELLSPACING="0" CELLPADDING="4">
 <TR><TD> ({0},⊕,⊙) </TD><TD> Nullraum </TD></TR>
 <TR><TD> (X,⊕,⊙) </TD><TD> Vektorraum über sich </TD></TR>
 <TR><TD> Xₙ </TD><TD> VR. d. Zeilenvektoren </TD></TR>
 <TR><TD> Xⁿ </TD><TD> VR. d. Spaltenvektoren </TD></TR>
 <TR><TD> Vˣ = { f | f:X→V } </TD><TD> Folgenraum über V </TD></TR>
 </TABLE>
 >,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=146"]
 foo4 [ shape=none, fontcolor=blue, label=<
 Unterraumkriterium 
 Es sei (𝐾, +, ·) ein Körper, (𝑉 , ⊕, ⊙) ein 𝐾-Vektorraum und 𝑈 ⊆ 𝑉 . Dann sind äquivalent: 
 (𝑖) (𝑈 , ⊕, ⊙) ist ein Unterraum von (𝑉 , ⊕, ⊙). 
 (𝑖𝑖) 𝑈 ≠ ∅, und für alle 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑈 und 𝛼 ∈ 𝐾 gilt 𝑢 ⊕ 𝑣 ∈ 𝑈 und 𝛼 ⊙ 𝑢 ∈ 𝑈 . 
 (𝑖𝑖𝑖) 𝑈 ≠ ∅, und für alle 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑈 und 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾 gilt 𝛼 ⊙ 𝑢 ⊕ 𝛽 ⊙ 𝑣 ∈ 𝑈 .>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1607"]
 OO [shape=none, label=<
Es sei (K,+,·) ein Körper und (K^ℕ,⊕,⊙) der Folgenraum über K. 
Der Träger (englisch: support) einer Folge (xₙ)n∈ℕ, ist die Menge derjenigen Indizes, 
 für die xₙ≠0 ist, also supp(xₙ)n∈ℕ = {n∈ ℕ|xₙ≠0}⊆ ℕ. 
Die Teilmenge der Folgen mit endlichem Träger (englisch: sequences with finite
support) 
oder endlich getragenen Folgen (englisch: finitely supported sequences) 
(K^ℕ)₀₀ := {(xₙ)n∈ℕ|supp(xₙ)n∈ℕ ist endlich} ist ein echter Unterraum von (K^ℕ,⊕,⊙).
>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1607"]

OO2 [shape=none, label=<
 Folge (yₙ)n∈ℕ ∈K^ℕ heißt j-te Standardfolge: yⱼ=1, yₙ=0 für n≠j Bezeichnet mit eⱼ∈K^ℕ, sind Standardbasis von (K^ℕ)₀₀ ᐸ{e₁,...,eₙ}ᐳ Unterraum mit Träger in ⟦1,n⟧ ᐸE₁∪E₂ᐳ = ᐸᐸE₁ᐳ ∪ᐸE₂ᐳ ᐳ ᐸE₁∩E₂ᐳ ⊆ᐸᐸE₁ᐳ ∩ᐸE₂ᐳ ᐳ = ᐸE₁ᐳ ∩ᐸE₂ᐳ 
>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1607"]

Untervektorraum [label="Unterraum (U,⊕,⊙)",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1604"]
 von_E_erzeugt_UR [label=<ᐸEᐳ ist von E erzeugter Unterraum, oder lineare Hülle Lin(E) oder Spann Span(E); wenn ᐸEᐳ=V, dann Erzeugendensystem Satz: ᐸEᐳ={∑v∈E₀ aᵥv|E₀⊆E endlich,∀v∈E₀(aᵥ∈K)} >,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=155"] 
 Produktraum [label="Produktraum",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1575"]
 foo6 [ shape=none, fontcolor=blue, label=<
 Charakterisierung von Basen. 
 Es sei 𝑉 ein Vektorraum. Für eine Teilmenge 𝐵 ⊆ 𝑉 bzw. 
 für eine Familie 𝐵 = (𝑣ᵢ)i∈I von Vektoren in 𝑉 sind äquivalent: 
 (𝑖) 𝐵 ist eine Basis von 𝑉. 
 (𝑖𝑖) 𝐵 ist eine maximale linear unabhängige Teilfamilie von 𝑉. Das heißt: 𝐵 
 ist linear unabhängig, und jede echte Oberfamilie von 𝐵 ist linear abhängig. 
 (𝑖𝑖𝑖) 𝐵 ist eine minimale erzeugende Familie von 𝑉. Das heißt: 𝐵 ist eine 
 erzeugende Familie, und jede echte Teilfamilie von 𝐵 ist keine erzeugende Familie. 
 (𝑖𝑣) Jeder Vektor 𝑣 ∈ 𝑉 lässt sich auf eindeutige Weise (bis auf Summanden mit 
 Nullkoeffizienten) aus Vektoren der Familie (𝑣ᵢ)i∈I linearkombinieren.>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1742"]
 Basis [ label=< Basis [...ergänzungssatz (AoC)] Bsp: charakteristische F. e_y(x):=δₓy {e_y|y∈X} ist linear unabhängig in K^X nur für endliches X auch Basis unendliches X: Problem ist konstant 1 F. >,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1734"]
 Dimension [ shape=none, label=< Dimension (wohldefiniert) Austauschlemma / ...satz von Steinitz Wenn V endlich erzeugt, dann haben alle Basenfam. selbe Mächtigkeit dim_ℝ(ℝ)=1, dim_ℚ(ℝ)=∞ dim_ℝ(ℂ)=2 mit Basis (1,i) >,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1774"]

Summe_UR [ label=< Summe der Unterräume U∪W nur Unterraum wenn U⊆W oder W⊆U dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U∩W) >,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1823"]
 Direkte_Summe_UR [ label=< Direkte Summe der Unterräume dim(U⊕W) = dim(U) + dim(W) >,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1838"]
 foo7 [ shape=none, fontcolor=blue, label=<
 Charakterisierung direkter Summen von zwei Unterräumen. 
 Es seien 𝑉 ein Vektorraum und 𝑈 ,𝑊 zwei Unterräume von 𝑉 . Dann sind äquivalent: 
 (𝑖) 𝑉 = 𝑈 ⊕ 𝑊 . 
 (𝑖𝑖) Für alle 𝑣 ∈ 𝑉 existieren eindeutige Vektoren 𝑢 ∈ 𝑈 und 𝑤 ∈ 𝑊 , sodass 𝑣 = 𝑢 + 𝑤 gilt. 
 Sind 𝑈 und 𝑊 endlich-dimensional, dann sind diese Aussagen desweiteren äquivalent zu 
 (𝑖𝑖𝑖) dim(𝑉 ) = dim(𝑈 ) + dim(𝑊 ) und dim(𝑈 ∩ 𝑊 ) = 0.>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1841"]
 komplementärer_UR [ label=< komplementärer Unterraum (Basisergänzungssatz ⟹ Existenz) Kodimension >,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=177"]

Summe_UR_ [ label=< Summe der Familie von Unterräumen >,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=178"]
 Direkte_Summe_UR_ [ label=< Direkte Summe der Familie von Unterräumen >,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=179"]
 foo8 [ shape=none, fontcolor=blue, label=<
 Charakterisierung direkter Summen von Unterräumen. 
 Es seien 𝑉 ein Vektorraum und (𝑈ᵢ)i∈I eine nichtleere Familie von Unterräumen von 𝑉. Dann sind äquivalent: 
 (𝑖) 𝑉 = ⨁𝑖∈𝐼 𝑈ᵢ . 
 (𝑖𝑖) Für alle 𝑣 ∈ 𝑉 existiert eine endliche Teilmenge 𝐼₀ ⊆ 𝐼 und Vektoren 𝑢ᵢ∈𝑈ᵢ , sodass 
 𝑣 = ∑𝑖∈𝐼₀ 𝑢ᵢ gilt, und diese Darstellung ist (bis auf die Summation von Nullvektoren) eindeutig.>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=180"]

Matrix [label=< n×m-Matrix>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=181"]

Matrix2 [shape=none, color=blue, fontcolor=blue, margin=0, label=<
 <TABLE BORDER="0" CELLBORDER="1" CELLSPACING="0" CELLPADDING="4">
 <TR><TD> k-te Diagonale </TD><TD align="left"> j - i = k </TD></TR>
 <TR><TD> Hauptdiagonale </TD><TD align="left"> k = 0 </TD></TR>
 <TR><TD> Diagonalmatrix </TD><TD align="left"> nur HD ≠ 0 </TD></TR>
 <TR><TD> quadratisch </TD><TD align="left"> n = m </TD></TR>
 <TR><TD> n×n-Einheitsmatrix </TD><TD align="left"> Iₙ×ₙ = Iₙ (aᵢᵢ = 1, aᵢⱼ = 0 für i≠j) </TD></TR>
 <TR><TD> Zeilenvektoren </TD><TD align="left"> ᵃi● ∈ Kⁿ </TD></TR>
 <TR><TD> Spaltenvektoren </TD><TD align="left"> ᵃ●j∈ Kₘ </TD></TR>
 </TABLE>
 >]

EigMatrix [shape=none, color=blue, fontcolor=blue, margin=0, label=<
 <TABLE BORDER="0" CELLBORDER="1" CELLSPACING="0" CELLPADDING="4">
 <TR><TD> Distributivgesetz </TD><TD align="left"> A · (B₁ + B₂ ) = A · B₁ + A · B₂ </TD></TR>
 <TR><TD> Distributivgesetz </TD><TD align="left"> (A₁ + A₂ ) · B = A₁ · B + A₂ · B </TD></TR>
 <TR><TD> Assoziativgesetz </TD><TD align="left"> (A · B) · C = A · (B · C ) </TD></TR>
 <TR><TD> Skalare überall </TD><TD align="left"> A · (α · B) = (α · A) · B = α · (A · B) </TD></TR>
 <TR><TD> I neutral </TD><TD align="left"> Iₙ · A = A · Iₘ = A </TD></TR>
 </TABLE>
 >,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1937"]

Knxm [label=< n×m K vector space of n×m matrices Dimension n·m neutrales El. von (Kⁿˣᵐ,+) ist die Nullmatrix>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1912"]

MatrixMult [shape=ellipse, label=< Matrix-Matrix Multiplikation>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=184"]

Hhom [shape=ellipse, label=< homomorphism>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1101"]
 Morphismen [shape=none, color=blue, fontcolor=blue, margin=0, label=<
 <TABLE BORDER="0" CELLBORDER="1" CELLSPACING="0" CELLPADDING="4">
 <TR><TD> Endomorphismus </TD><TD> (H₁,★) = (H₂,□)</TD></TR>
 <TR><TD> Isomorphismus </TD><TD> bijektiv </TD></TR>
 <TR><TD> Automorphismus </TD><TD> (H₁,★) = (H₂,□) und bijektiv</TD></TR>
 </TABLE>
 >,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1101"]

Knxm1 [label=< n×m K VR der n×m-Matrizen (Kopie) Dimension n·m neutrales El. (Kⁿˣᵐ,+) ist die Nullmatrix>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1912"]

ZR [label=< Zeilenraum ZR(𝐴) := ⟨𝑎₁•, . . . , 𝑎ₙ•⟩ ⊆ 𝐾ₘ ZRang(𝐴) := dim(ZR(𝐴))>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=188"]

SR [label=< Spaltenraum SR(𝐴) := ⟨𝑎•₁, . . . , 𝑎•ₘ⟩ ⊆ 𝐾ⁿ SRang(𝐴) := dim(SR(𝐴))>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=188"]

Rang [shape=none, label=< Satz: 0 ≤ ZRang(A) = SRang(A) ≤ min{m,n} Rang(𝐴) := ZRang(𝐴) = SRang(𝐴) A hat vollen Rang wenn Rang(A)=min{m,n}, sonst rang-defitizär Rangfaktorisierung: A∈Kⁿˣᵐ, r=Rang(A) ⟹ ∃Bᵣₐₙg∈Kⁿˣʳ, Cᵣₐₙg∈Kʳˣᵐ mit A = Bᵣₐₙg Cᵣₐₙg A∈Kⁿˣᵐ, B∈Kᵐˣˡ ⟹ 0 ≤ Rang(AB) ≤ min{Rang(A), Rang(B)} ≤ min{l, m, n}>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=191"]

ZSF [shape=none, label=< 
 <TABLE BORDER="0" CELLBORDER="1" CELLSPACING="0" CELLPADDING="4">
 <TR><TD> Zeilenstufenform </TD><TD> Stufenbedingung, Pivotelemente, ZSF erreichbar</TD></TR>
 <TR><TD> Transformationsmatrizen </TD><TD> ändern Zeilenraum nicht</TD></TR>
 <TR><TD> Typ I </TD><TD> Dᵢ(𝛼) := I + (𝛼 − 1) Eᵢᵢ</TD></TR>
 <TR><TD> Typ II </TD><TD> Sᵢⱼ(𝛼) := I + 𝛼 Eᵢⱼ</TD></TR>
 <TR><TD> Typ III </TD><TD> Tᵢⱼ(𝛼) := I - Eᵢᵢ - Eⱼⱼ + Eᵢⱼ + Eⱼᵢ</TD></TR>
 </TABLE>
 >,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.2011"]

Transponiert [shape=none, label=< 
 <TABLE BORDER="0" CELLBORDER="1" CELLSPACING="0" CELLPADDING="4">
 <TR><TD> Transponierte Matrix </TD><TD> (Aᵀ)ᵢⱼ = (A)ⱼᵢ</TD></TR>
 <TR><TD> involutorisch </TD><TD> (Aᵀ)ᵀ = A</TD></TR>
 <TR><TD> additiv </TD><TD> (A+B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ</TD></TR>
 <TR><TD> homogen </TD><TD> (𝛼A)ᵀ := 𝛼Aᵀ</TD></TR>
 <TR><TD> </TD><TD> (AC)ᵀ := Cᵀ Aᵀ</TD></TR>
 <TR><TD> </TD><TD> Rang(A) = Rang(Aᵀ) </TD></TR>
 </TABLE>
 >,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.2011"]

Symat [shape=none, label=< 
 <TABLE BORDER="0" CELLBORDER="1" CELLSPACING="0" CELLPADDING="4">
 <TR><TD> symmetrisch </TD><TD> A = Aᵀ</TD></TR>
 <TR><TD> antisymmetrisch </TD><TD> A = -Aᵀ</TD></TR>
 <TR><TD> Satz: char(K)≠2 ⟹ </TD><TD> Kⁿˣⁿₛyₘ, Kⁿˣⁿₛₖₑw Unterräume von Kⁿˣⁿ</TD></TR>
 <TR><TD> </TD><TD> dim(Kⁿˣⁿₛyₘ) = n(n+1)/2</TD></TR>
 <TR><TD> </TD><TD> dim(Kⁿˣⁿₛₖₑw) = n(n-1)/2</TD></TR>
 <TR><TD> </TD><TD> Kⁿˣⁿ = Kⁿˣⁿₛyₘ ⊕ Kⁿˣⁿₛₖₑw</TD></TR>
 </TABLE>
 >,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=198"]

Matrixring [shape=none, label=< 
 <TABLE BORDER="0" CELLBORDER="1" CELLSPACING="0" CELLPADDING="4">
 <TR><TD> Matrixring </TD><TD> (Kⁿˣⁿ,+,·), mit Eins, n≥2: nicht-kommutativ</TD></TR>
 <TR><TD> (strikte) </TD><TD> obere Dreiecksmatrix</TD></TR>
 <TR><TD> (strikte)</TD><TD> untere Dreiecksmatrix</TD></TR>
 <TR><TD> nilpotent </TD><TD> ∃k∈ℕ₀: Aᵏ=0 </TD></TR>
 </TABLE>
 >,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=198"]

Matrixring2 [shape=none, label=< 
 <TABLE BORDER="0" CELLBORDER="1" CELLSPACING="0" CELLPADDING="4">
 <TR><TD> </TD><TD> A∈Kⁿˣⁿ strikt ⟹ Aⁿ=0</TD></TR>
 <TR><TD> </TD><TD> Kⁿˣⁿ╲ = Kⁿˣⁿ◹ ∩ Kⁿˣⁿ◺</TD></TR>
 <TR><TD> </TD><TD> alle drei UR mit Eins, Kⁿˣⁿ╲ sogar kommutativ</TD></TR>
 <TR><TD> </TD><TD> n≥1, strikte Dreiecksmatrizen UR (ohne Eins); n=1 Nullring</TD></TR>
 </TABLE>
 >,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=198"]

invMatrix [shape=none, label=< 
 <TABLE BORDER="0" CELLBORDER="1" CELLSPACING="0" CELLPADDING="4">
 <TR><TD> A∈Kⁿˣⁿ invertierbar </TD><TD> ∃B∈Kⁿˣⁿ: AB=I </TD></TR>
 <TR><TD> inverse Matrix </TD><TD> B=A⁻¹</TD></TR>
 <TR><TD> allg. lin. Gruppe </TD><TD> GL(n,K) := {A ∈ Kⁿˣⁿ | A ist invertierbar} </TD></TR>
 <TR><TD> Kürzungsregeln </TD><TD> (AB₁ = AB₂ oder B₁A = B₂A) ⟹ B₁ = B₂ </TD></TR>
 <TR><TD> involutorisch</TD><TD> für A invertierbar: (A⁻¹)⁻¹ = A</TD></TR>
 </TABLE>
 >,
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invMatrix2 [shape=none, label=< 
 <TABLE BORDER="0" CELLBORDER="1" CELLSPACING="0" CELLPADDING="4">
 <TR><TD> A,B invertierbar</TD><TD> dann auch AB: (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹</TD></TR>
 <TR><TD> A invertierbar</TD><TD> dann auch Aᵀ: (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ (oder auch A⁻ᵀ)</TD></TR>
 <TR><TD> Elementarmatrizen </TD><TD> sind invertierbar</TD></TR>
 <TR><TD> A∈Kⁿˣⁿ╲ </TD><TD> inv. gdw. ∀i: Aᵢᵢ≠0; inv. diag. M. UG von GL(n, K)</TD></TR>
 <TR><TD> A∈Kⁿˣⁿ◹ </TD><TD> inv. gdw. ∀i: Aᵢᵢ≠0; inv. o.D.M. UG von GL(n, K)</TD></TR>
 </TABLE>
 >,
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invMatrix3 [shape=none, label=< 
 <TABLE BORDER="0" CELLBORDER="1" CELLSPACING="0" CELLPADDING="4">
 <TR><TD> A∈Kⁿˣⁿ◺ </TD><TD> inv. gdw. ∀i: Aᵢᵢ≠0; inv. u.D.M. UG von GL(n, K)</TD></TR>
 <TR><TD> C=ZSF(A)</TD><TD> A inv. ⇔ Rang(A)=n ⇔ C inv. ⇔ Rang(C)=n ⇔ keine Null-zeilen/spalten in C </TD></TR>
 <TR><TD> Folgerung</TD><TD> A∈ Kⁿˣᵐ, B∈ Kⁿˣⁿ, C∈ Kᵐˣⁿ: Rang(BAC) = Rang(A) </TD></TR>
 <TR><TD> Satz</TD><TD> Rechtsinverse quadratischer Matrizen sind Linksinverse und umgekehrt</TD></TR>
 </TABLE>
 >,
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{rank=same Menge uniheidelberg my}
  {rank=same von_E_erzeugt Kommutatoruntergruppe}
  {rank=same Gruppe Homomorphiesatz}
  {rank=same abelsche_Gruppe HomomorphiesatzR}
  {rank=same Kommutatoruntergruppe Normalteiler}
  {rank=same Ring Nullring}
  {rank=same Monoid Ordnung}
  {rank=same CharakteristikK Integritätsring}
  {rank=same Vektorraum Nullraum}
  {rank=same Körper Matrix2}
  {rank=same Matrix MatrixMult}
  {rank=same Halbgruppe Hhom Morphismen}

{kommutativer_Ring Ring_mit_Eins nullteilerfreier_Ring} -> null 
 null -> Integritätsring [label="≠ Nullring"]
 Menge -> Halbgruppe [label=< closed under +  associative>]
 Halbgruppe -> Monoid [label=< ∃0∈X ∀a∈X: 0+a=a+0=a>]
 Halbgruppe -> Unterhalbgruppe[label=< U ⊆ X  closed under +>]
 Monoid -> Gruppe [label=< ∀a∈X ∃b∈X: a+b=b+a=0>] 
 Monoid -> Untermonoid[label=< U ⊆ X  closed under + e∈X identity and e∈U>]
 Gruppe -> Ordnung [label=<ord(a) := min({ n∈ℕ | aⁿ=1 } ∪ { ∞ })>]
 Gruppe -> Homomorphiesatz [color=blue,arrowhead=none]
 Gruppe -> abelsche_Gruppe [label=< ∀a,b∈X: a+b=b+a>]
 Gruppe -> Untergruppe[label=< U ⊆ X closed under + (U,+) group>]
 von_E_erzeugt -> Kommutatoruntergruppe 
 Untergruppe -> Normalteiler[label=< ~U/U~ Äquivalenzrel.  Links-/Rechts-  nebenklassen ∀a∈X:  a⋅U=U⋅a>]
 Kommutatoruntergruppe -> Normalteiler [style=invis]
 Normalteiler -> Kommutatoruntergruppe
 Untergruppe -> von_E_erzeugt[label=< ᐸEᐳ := ⋂{U|U subgroup  of (X,+), E⊆U}>]
 von_E_erzeugt -> von_a_erzeugt [label=< E={a}>]
 von_E_erzeugt -> Erzeugendensystem [label=< ᐸEᐳ=X>]
 Erzeugendensystem -> EindeutGruppHom [label="f,g:G₁→G₂\nᐸEᐳ=X, E⊆G₁\n f(e)=g(e) ∀e∈E ⟹ f=g"]
 von_a_erzeugt -> zyklische_Gruppe [label=< ᐸaᐳ=X>]
 Normalteiler -> Faktorgruppe [label=< ∀a,b∈X: [a] ⨤ [b] := [a + b]>] 
 abelsche_Gruppe -> Ring [label=< zweite Operation ⋅  (X,⋅) Halbgruppe  Distributivgesetze: a⋅(b+c)=(a⋅c)+(b⋅c) (a+b)⋅c=(a⋅c)+(b⋅c)>]
 Ring -> HomomorphiesatzR [color=blue,arrowhead=none]
 Ring -> Nullring [label=< X={0}>]
 Ring -> kommutativer_Ring [label=< (X,⋅) kommutativ>]
 Ring -> Ring_mit_Eins [label=< (X,⋅) Monoid>]
 Ring -> nullteilerfreier_Ring [label=< ∀a,b∈X: a⋅b=0 ⟹ a=0 oder b=0>]
 Ring -> Unterring [label=< U ⊆ X bzgl. + und ⋅ abgeschlossen (U,+,⋅) Ring>]
 Endoring -> Ring_mit_Eins [arrowhead=none, arrowtail=normal, dir=back]
 Ideal -> Faktorring [label=< ∀a,b∈X:  [a] ⨤ [b] := [a + b]  [a] ⸟ [b] := [a ⋅ b]>] 
 Unterring -> Ideal [label=< X⋅U ⊆ U und U⋅X ⊆ U>]
 Ideal -> von_E_erzeugt_I[label=< (E) := ⋂{U|U Ideal  von (X,+), E⊆U}>]
 von_E_erzeugt_I -> von_a_erzeugt_I [label=< E={a}>]
 von_E_erzeugt_I -> Kommutatorideal 
 Normalteiler -> Ideal[arrowhead=none,style=dotted]
 Faktorgruppe -> Faktorring[arrowhead=none,style=dotted]
 Homomorphiesatz -> HomomorphiesatzR[arrowhead=none,style=dotted,color=blue]
 Integritätsring -> Körper [label=< endlich>]
 Körper-> Integritätsring:sw
 kommutativer_Ring -> Körper [label=< (X\{0},⋅) abelsche Gruppe>]
 Körper -> geordneter_Körper [label=< Totalordnung ≤>]
 Körper -> Unterkörper [label=< U ⊆ X  bzgl. + und ⋅ abgeschlossen (U,+,⋅) Körper>]
 Ring_mit_Eins -> CharakteristikR [label=<char(X):=  min{ n∈ℕ | n⋅1=0 }>]
 Körper -> CharakteristikK [label=< char(X)∈{0}∪{p|p prime}>]
 CharakteristikR -> CharakteristikK[arrowhead=none,style=dotted]
 Körper->Vektorraum [label=< ⊕:V×V→V  ⊙:X×V→V  (V,⊕) abelsche Gruppe 
 𝛼,𝛽∈X, u,v∈V  (𝛼·𝛽)⊙v=𝛼⊙(𝛽⊙v)  𝛼⊙(u⊕v)=(𝛼⊙u)⊕(𝛼⊙v)  (𝛼+𝛽)⊙v=(𝛼⊙v)⊕(𝛼⊙v)  1⊙v=v>]

Vektorraum -> Nullraum [color=blue,arrowhead=none]
 Vektorraum -> Produktraum [label=<╳ Vᵢ  i∈I      >]
 Vektorraum -> Untervektorraum [label=< U⊆V  bzgl. ⊕ und ⊙ abgeschlossen  (U,⊕,⊙) Vektorraum>]

foo1 -> Untergruppe [color=blue,arrowhead=none]
 foo2 -> Unterring [color=blue,arrowhead=none]
 Unterkörper -> foo3 [color=blue,arrowhead=none]
 Untervektorraum -> foo4 [color=blue,arrowhead=none]
 foo4 -> OO -> OO2 [arrowhead=none]
 Untervektorraum -> von_E_erzeugt_UR [ label=< ᐸEᐳ := ⋂{U|U Unterraum  von V, E⊆U}>]
 foo5 -> Gruppe [color=blue,arrowhead=none]

Vektorraum -> Basis [label=< B ⊆ V B linear unabhängig ᐸBᐳ=V >] 
 Basis -> foo6 [color=blue,arrowhead=none]

Vektorraum -> Dimension [label=< dim(V)=n ∈ℕ₀ oder dim(V)=∞>]

von_E_erzeugt_UR -> Summe_UR [label=< ᐸU∪Wᐳ = U+W >]
 Summe_UR -> Direkte_Summe_UR [label=< wenn U∩W={0}  dann ᐸU∪Wᐳ = U⊕W >]
 Direkte_Summe_UR -> foo7 [color=blue,arrowhead=none]
 Direkte_Summe_UR -> komplementärer_UR [label=< U Unterraum von V  W mit V=U⊕W  codim(U):=dim(W) >]

von_E_erzeugt_UR -> Summe_UR_ [label=< ∑𝑖∈𝐼 Uᵢ := ᐸ⋃ᵢ∈I Uᵢᐳ>]
 Summe_UR_ -> Direkte_Summe_UR_ [label=< wenn Uⱼ ∩ ∑ᵢ∈I\{j} Uᵢ = {0} für alle j∈I  dann schreibt man ⨁ᵢ∈I Uᵢ >]
 Direkte_Summe_UR_ -> foo8 [color=blue,arrowhead=none]

Körper -> Matrix
 Matrix -> Matrix2 [color=blue,arrowhead=none]
 Vektorraum -> Knxm
 Matrix -> Knxm [label=< (A+B)ᵢⱼ := aᵢⱼ + bᵢⱼ (α·A)ᵢⱼ := α·aᵢⱼ>]
 Matrix -> MatrixMult [label=< A∈Kⁿˣᵐ, B∈Kᵐˣˡ C := A·B ∈ Kⁿˣˡ cᵢₖ := ∑₁≤ⱼ≤ₘ aᵢⱼ·bⱼₖ, 1≤i≤n, 1≤k≤l>]
 EigMatrix -> MatrixMult [color=blue,arrowhead=none]

Halbgruppe -> Hhom [label=< (H₁,★) and (H₂,□) two semigroups f:H₁→H₂ structure-preserving if f(a★b) = f(a)□f(b) for all a,b∈H₁>]
 Monoid -> Hhom [label=< additionally: f(e₁)=e₂>]
 Hhom -> Morphismen [arrowhead=none, color=blue]

Knxm1 -> { Transponiert ZR SR }
  Rang -> { ZR SR } [arrowhead=none]
  ZR -> Transponiert [style=invis]
  SR -> ZSF [arrowhead=none]
  Transponiert -> Symat

ZSF -> Matrixring -> Matrixring2 [arrowhead=none]
  Symat -> invMatrix [style=invis]
  Matrixring2 -> invMatrix -> invMatrix2 -> invMatrix3
}

digraph G {
 node [shape=box]
 
 Menge[label="Menge X",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#section.229"]
 uniheidelberg[shape=none,label=<                    Nützliches zu Analysis 1 und Lineare Algebra 1(link) 
 
 clicken in jede box springt zur Definition ins Vorlesungsskript (kein VPN erforderlich)>,
 URL="https://github.com/Hermann-SW/uni-heidelberg/tree/main?tab=readme-ov-file#analysis-1"]
 Halbgruppe[label="Halbgruppe (X,+)",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#subsection.814"]
 Unterhalbgruppe[label="Unterhalbgruppe (U,+)",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.865"]
 Untermonoid[label="Untermonoid (U,+)",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.865"]
 foo1 [ shape=none, fontcolor=blue, label=<
 Untergruppenkriterium 
 Es sei (𝐺, ★) eine Gruppe und 𝑈 ⊆ 𝐺. Dann sind äquivalent: 
 (𝑖) (𝑈 , ★) ist eine Untergruppe von (𝐺, ★). 
 (𝑖𝑖) 𝑈 ≠ ∅, und für alle 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑈 gilt 𝑎 ★ 𝑏′ ∈ 𝑈. 
 (𝑖𝑖𝑖) 𝑈 ≠ ∅, und für alle 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑈 gilt 𝑎′ ★ 𝑏 ∈ 𝑈.>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1006"]
 Untergruppe[label="Untergruppe (U,+)",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#subsection.999"]
 von_E_erzeugt[label=<von E erzeugte Untergruppe ᐸEᐳ ={a₁+...+aₙ|n∈ ℕ₀, aᵢ∈E∪E'}>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1036"] 
 von_a_erzeugt[label=<von a erzeugte Untergruppe ᐸaᐳ>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1036"] 
 Kommutatoruntergruppe[label=<Kommutatoruntergruppe ᐸ{[a,b]|a,b∈U}ᐳ [a,b] := (a+b) + (b+a)'>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=108"] 
 zyklische_Gruppe[label="zyklische Gruppe",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1036"]
 foo5 [ shape=none, fontcolor=blue, label=<
 Gruppenkriterium („Sudoku-Kriterium“) 
 (𝑖) Ist (𝐺, ★) eine Gruppe, so sind die Links- und Rechtstranslationen ★𝑎 und 𝑎★ für alle 
 𝑎 ∈ 𝐺 bijektive Abbildungen 𝐺 → 𝐺. 
 (𝑖𝑖) Ist (𝐻, ★) eine nichtleere Halbgruppe und gilt für alle 𝑎 ∈ 𝐻 , dass die Links- und Recht- 
 stranslationen ★𝑎 und 𝑎★ surjektive Abbildungen sind, dann ist (𝐻, ★) eine Gruppe.>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.947"]
 abelsche_Gruppe[label="abelsche Gruppe",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.952"]
 Homomorphiesatz[shape=none,color=blue,fontcolor=blue,
 label=<Homomorphiesatz für Gruppen (G₁,★), (G₂,□) Gruppen, f:G₁→G₂ Homomorphismus 
 Dann G₁/Kern(f)≅Bild(f) mit Isomorphismus I([a]):=f(a) für [a]=a★Kern(f)∈G₁/Kern(f)>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1223"]
 HomomorphiesatzR[shape=none,color=blue,fontcolor=blue,
 label=<Homomorphiesatz für Ringe (R₁,+₁,⋅₁), (R₂,+₂,⋅₂) Ringe, f:R₁→R₂ Homomorphismus 
 Dann R₁/Kern(f)≅Bild(f) mit Isomorphismus I([a]):=f(a) für [a]=a+₁Kern(f)∈R₁/Kern(f)>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=135"]
 Ring[label="Ring (X,+,⋅)",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#section.1240"]
 Nullring [ label="Nullring\neinziger mit char(X)=1",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1249"]
 foo2 [ shape=none, fontcolor=blue, label=<Unterringkriterium 
 Es sei (𝑅, +, ·) ein Ring und 𝑈 ⊆ 𝑅. Dann sind äquivalent: 
 (𝑖) (𝑈 , +, ·) ist ein Unterring von (𝑅, +, ·). 
 (𝑖𝑖) 𝑈 ≠ ∅, und für alle 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑈 gilt 𝑎 − 𝑏 ∈ 𝑈 und 𝑎 · 𝑏 ∈ 𝑈.>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1308"]
 Unterring[label="Unterring (U,+,⋅)",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1303"]
 kommutativer_Ring[label="kommutativer Ring",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#section.1240"]
 nullteilerfreier_Ring[label="nullteilerfreier Ring",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=121"]
 Endoring [label="Endomorphismenring (End(G),+,∘)\nEnd(G):={f:G→G| f ist Endomorphismus}",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=117"]
 Ring_mit_Eins[label="Ring mit Eins",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=117"]
 null[shape=point]
 von_E_erzeugt_I[label=<(E) von E erzeugtes Ideal wie erz. UG, aber mit aᵢ∈E∪-E∪XE∪EX∪XEX>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1401"] 
 von_a_erzeugt_I[label=<(a) von a erzeugtes Hauptideal>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1401"] 
 Kommutatorideal[label=<Kommutatorideal ({[a,b]|a,b∈U}) [a,b] := a⋅b - b⋅a>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=134"] 
 Faktorgruppe[label="Faktorgruppe (X/U,⨤)\n[e]=U, [a]'=[a']\nkan. Surj. π: a→[a]\n(X,*) abelsch ⟹ (X/U,⨤) abelsch",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1195"]
 Faktorring[label="Faktorring (X/U,⨤,⸟)\n[0]=U, ≃[a]=[-a]\nkan. Surj. π: a→[a]\nX komm. R. ⟹ X/U kommutativ",
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=130"]

Monoid[label="Monoid",
    URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=71"]
  Gruppe[label="Gruppe",
    URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#subsection.919"]
  Ordnung[shape=ellipse,label="Ordnung",
    URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page.92"]
  Normalteiler[label="Normalteiler",
    URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1166"]
  Erzeugendensystem [label="Erzeugendensystem",
    URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1036"]
  EindeutGruppHom [shape=ellipse,label="Eindeutigkeitssatz für\nGruppenhomomorphismen",
    URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1036"]
  Ideal[label="Ideal",
    URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1359"]

Matrix [label=< n×m-Matrix>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#page=181"]

Knxm [label=< n×m K VR der n×m-Matrizen Dimension n·m neutrales El. von (Kⁿˣᵐ,+) ist die Nullmatrix>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1912"]

Drucken [shape=none, style=filled, fillcolor=cyan, label=< Doppelseitig lesbar  drucken hab ich so gemacht (HP Laserjet M102w): □ diese Seite im browser speichern □ alles vor ᐸsvgᐳ und die eine Zeile nach ᐸ/svgᐳ löschen, und speichern □ mit freier software inkscape öffnen, und dann als PNG exportieren (mit 192dpi!) □ Bild in Bildverarbeitung öffnen (z.B. gimp), und obere und untere Hälfte separat speichern □ diese Hälften dann drucken (besser zu lesen als über PDF Umweg) einfach hier  clicken um Ausdruck der linken unteren Ecke der Rückseite zu sehen (cyan unterlegte "passtNicht_click", "kommDiag" und "LGSpasstNicht" als overlay in Bildverarbeitung)
 >,
 URL="https://stamm-wilbrandt.de/images/IMG_20260206_120757_MP.jpg"]

kommDiag [label=<kommDiag>,shape=none, style=filled, fillcolor=cyan, URL="https://stamm-wilbrandt.de/images/kommDiag.png"]
 Vorderseite [label=<Vorderseite>,shape=none, style=filled, fillcolor=cyan, URL="https://stamm-wilbrandt.de/images/LA1.klausur.Vorderseite.png"]
 Rueckseite [label=<Rueckseite>,shape=none, style=filled, fillcolor=cyan, URL="https://stamm-wilbrandt.de/images/LA1.klausur.Rueckseite.png"]

Hhom [shape=ellipse, label=< Homomorphismus>,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1101"]
 Morphismen [shape=none, color=blue, fontcolor=blue, margin=0, label=<
 <TABLE BORDER="0" CELLBORDER="1" CELLSPACING="0" CELLPADDING="4">
 <TR><TD> Endomorphismus </TD><TD> (H₁,★) = (H₂,□)</TD></TR>
 <TR><TD> Isomorphismus </TD><TD> bijektiv </TD></TR>
 <TR><TD> Automorphismus </TD><TD> (H₁,★) = (H₂,□) und bijektiv</TD></TR>
 </TABLE>
 >,
 URL="https://scoop.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/2025ws/lecture-lineare-algebra/lineare-algebra-skript-20251013.pdf#theorem.1101"]

LGS [shape=none,style=filled,fillcolor=cyan, label=< LGSpasstNicht
 >,
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 https://stamm-wilbrandt.de/GraphvizFiddle/2.1.2/?1770505229580#digraph%20G%20%7B%0AUHG2%20%5Bshape%3Dnone%2C%20label%3D%3C%20%0A%20%20%20%20%3CTABLE%20BORDER%3D%220%22%20CELLBORDER%3D%221%22%20CELLSPACING%3D%220%22%20CELLPADDING%3D%224%22%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20R%20reflexiv%20%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20(x%2Cx)%E2%88%88R%20%E2%88%80x%E2%88%88X%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20R%20irreflexiv%20%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20(x%2Cx)%20%E2%88%89%20R%20%E2%88%80x%E2%88%88X%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20R%20symmetrisch%20%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20(x%2Cy)%E2%88%88R%20%E2%9F%B9%20(y%2Cx)%E2%88%88R%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20R%20antisymmetrisch%20%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20(x%2Cy)%E2%88%88R%20und%20(y%2Cx)%E2%88%88R%20%E2%9F%B9%20x%3Dy%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20R%20transitiv%20%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20%20(x%2Cy)%E2%88%88R%20und%20(y%2Cz)%E2%88%88R%20%E2%9F%B9%20(x%2Cz)%E2%88%88R%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20R%20total%20%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20(x%2Cy)%E2%88%88R%20oder%20(y%2Cx)%E2%88%88R%20f%C3%BCr%20alle%20x%2Cy%E2%88%88R%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20Schnittstabilit%C3%A4t%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20H%C3%BCllenbildung%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20reflexive%20H%C3%BClle%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20R%3F%20%3D%20%E2%8B%83%E2%82%99%E2%88%88%7B0%2C1%7D%20R%E2%81%BF%20%3D%20R%20%E2%88%AA%20%CE%94%E2%82%93%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20symmetrische%20H%C3%BClle%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20R%CB%A2%CA%B8%E1%B5%90%20%3D%20%E2%8B%83%E2%82%99%E2%88%88%7B-1%2C1%7D%20R%E2%81%BF%20%3D%20R%20%E2%88%AA%20R%E2%81%BB%C2%B9%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20transitive%20H%C3%BClle%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20R%E2%81%BA%20%3D%20%E2%8B%83%E2%82%99%E2%88%88%E2%84%95%20R%E2%81%BF%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20reflexiv%20transitive%20H%C3%BClle%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20R*%20%3D%20%E2%8B%83%E2%82%99%E2%88%88%E2%84%95%E2%82%80%20R%E2%81%BF%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20refl.%20sym.%20tran.%20H%C3%BClle%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20R~%20%3D%20%E2%8B%83%E2%82%99%E2%88%88%E2%84%95%E2%82%80%20(R%20%E2%88%AA%20R%E2%81%BB%C2%B9)%E2%81%BF%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20%C3%84quivalenzrelation%20%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20reflexiv%2C%20symmetrisch%20und%20transitiv%20%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20Satz%3A%20~%20%C3%84quivalenzrelation%20%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20%7B%5Bx%5D~%20%7C%20x%E2%88%88X%7D%20%E2%9F%BA%20Partitition%20von%20X%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20Ordnungsrelation%20%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20reflexiv%2C%20antisymmetrisch%20und%20transitiv%20%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20auch%20Halbordnung%20%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20wenn%20R%20total%2C%20dann%20Totalordnung%20%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3C%2FTABLE%3E%0A%20%20%3E%2C%0A%20%20%20%20URL%3D%22https%3A%2F%2Fscoop.iwr.uni-heidelberg.de%2Fteaching%2F2025ws%2Flecture-lineare-algebra%2Flineare-algebra-skript-20251013.pdf%23page%3D198%22%5D%0A%0AUHG2b%20%5Bshape%3Dnone%2C%20label%3D%3C%20%0A%20%20%20%20%3CTABLE%20BORDER%3D%220%22%20CELLBORDER%3D%221%22%20CELLSPACING%3D%220%22%20CELLPADDING%3D%224%22%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20Lemma%20%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20f%3AX%E2%86%92Y%20und%20g%3AY%E2%86%92Z%20Funktionen%20%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20f%20und%20g%20beide%20injektiv%2C%20%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20%20so%20ist%20auch%20g%20%E2%88%98%20f%20injektiv%20%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20f%20und%20g%20beide%20surjektiv%2C%20%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20%20so%20ist%20auch%20g%20%E2%88%98%20f%20surjektiv%20%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20g%20%E2%88%98%20f%20injektiv%2C%20%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20%20so%20ist%20f%20injektiv%20%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20g%20%E2%88%98%20f%20injektiv%20und%20f%20surjektiv%2C%20%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20%20dann%20ist%20g%20injektiv%20%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20g%20%E2%88%98%20f%20surjektiv%2C%20%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20%20so%20ist%20g%20surjektiv%20%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3CTR%3E%3CTD%3E%20g%20%E2%88%98%20f%20surjektiv%20und%20g%20injektiv%2C%20%3C%2FTD%3E%3CTD%3E%20%20dann%20ist%20f%20surjektiv%20%3C%2FTD%3E%3C%2FTR%3E%0A%20%20%20%20%3C%2FTABLE%3E%0A%20%20%3E%2C%0A%20%20%20%20URL%3D%22https%3A%2F%2Fscoop.iwr.uni-heidelberg.de%2Fteaching%2F2025ws%2Flecture-lineare-algebra%2Flineare-algebra-skript-20251013.pdf%23page%3D198%22%5D%0A%0AUHG2-%3EUHG2b%20%5Bstyle%3Dinvis%5D%0A%7D%0A
"]

{rank=same Menge uniheidelberg}
  {rank=same von_E_erzeugt Kommutatoruntergruppe}
  {rank=same Gruppe Homomorphiesatz}
  {rank=same abelsche_Gruppe HomomorphiesatzR}
  {rank=same Kommutatoruntergruppe Normalteiler}
  {rank=same Ring Nullring}
  {rank=same Monoid Ordnung}
  {rank=same CharakteristikK Integritätsring}
  {rank=same Vektorraum Nullraum}
  {rank=same Körper Matrix2}
  {rank=same Matrix MatrixMult}
  {rank=same Halbgruppe Hhom Morphismen}

{kommutativer_Ring Ring_mit_Eins nullteilerfreier_Ring} -> null 
 null -> Integritätsring [label="≠ Nullring"]
 Menge -> Halbgruppe [label=< Operation +  abgeschlossen  assoziativ>]
 Halbgruppe -> Monoid [label=< ∃0∈X ∀a∈X: 0+a=a+0=a>]
 Halbgruppe -> Unterhalbgruppe[label=< U ⊆ X bzgl. + abgeschlossen>]
 Monoid -> Gruppe [label=< ∀a∈X ∃b∈X: a+b=b+a=0>] 
 Monoid -> Untermonoid[label=< U ⊆ X bzgl. + abgeschlossen e∈X neutral und e∈U>]
 Gruppe -> Ordnung [label=<ord(a) := min({ n∈ℕ | aⁿ=1 } ∪ { ∞ })>]
 Gruppe -> Homomorphiesatz [color=blue,arrowhead=none]
 Gruppe -> abelsche_Gruppe [label=< ∀a,b∈X: a+b=b+a>]
 Gruppe -> Untergruppe[label=< U ⊆ X bzgl. + abgeschlossen (U,+) Gruppe>]
 von_E_erzeugt -> Kommutatoruntergruppe 
 Untergruppe -> Normalteiler[label=< ~U/U~ Äquivalenzrel.  Links-/Rechts-  nebenklassen ∀a∈X:  a⋅U=U⋅a>]
 Kommutatoruntergruppe -> Normalteiler [style=invis]
 Normalteiler -> Kommutatoruntergruppe
 Untergruppe -> von_E_erzeugt[label=< ᐸEᐳ := ⋂{U|U Untergruppe  von (X,+), E⊆U}>]
 von_E_erzeugt -> von_a_erzeugt [label=< E={a}>]
 von_E_erzeugt -> Erzeugendensystem [label=< ᐸEᐳ=X>]
 Erzeugendensystem -> EindeutGruppHom [label="f,g:G₁→G₂\nᐸEᐳ=X, E⊆G₁\n f(e)=g(e) ∀e∈E ⟹ f=g"]
 von_a_erzeugt -> zyklische_Gruppe [label=< ᐸaᐳ=X>]
 Normalteiler -> Faktorgruppe [label=< ∀a,b∈X: [a] ⨤ [b] := [a + b]>] 
 abelsche_Gruppe -> Ring [label=< zweite Operation ⋅  (X,⋅) Halbgruppe  Distributivgesetze: a⋅(b+c)=(a⋅c)+(b⋅c) (a+b)⋅c=(a⋅c)+(b⋅c)>]
 Ring -> HomomorphiesatzR [color=blue,arrowhead=none]
 Ring -> Nullring [label=< X={0}>]
 Ring -> kommutativer_Ring [label=< (X,⋅) kommutativ>]
 Ring -> Ring_mit_Eins [label=< (X,⋅) Monoid>]
 Ring -> nullteilerfreier_Ring [label=< ∀a,b∈X: a⋅b=0 ⟹ a=0 oder b=0>]
 Ring -> Unterring [label=< U ⊆ X bzgl. + und ⋅ abgeschlossen (U,+,⋅) Ring>]
 Endoring -> Ring_mit_Eins [arrowhead=none, arrowtail=normal, dir=back]
 Ideal -> Faktorring [label=< ∀a,b∈X:  [a] ⨤ [b] := [a + b]  [a] ⸟ [b] := [a ⋅ b]>] 
 Unterring -> Ideal [label=< X⋅U ⊆ U und U⋅X ⊆ U>]
 Ideal -> von_E_erzeugt_I[label=< (E) := ⋂{U|U Ideal  von (X,+), E⊆U}>]
 von_E_erzeugt_I -> von_a_erzeugt_I [label=< E={a}>]
 von_E_erzeugt_I -> Kommutatorideal 
 Normalteiler -> Ideal[arrowhead=none,style=dotted]
 Faktorgruppe -> Faktorring[arrowhead=none,style=dotted]
 Homomorphiesatz -> HomomorphiesatzR[arrowhead=none,style=dotted,color=blue]
 Integritätsring -> Körper [label=< endlich>]
 Körper-> Integritätsring:sw
 kommutativer_Ring -> Körper [label=< (X\{0},⋅) abelsche Gruppe>]
 Körper -> geordneter_Körper [label=< Totalordnung ≤>]
 Körper -> Unterkörper [label=< U ⊆ X  bzgl. + und ⋅ abgeschlossen (U,+,⋅) Körper>]
 Ring_mit_Eins -> CharakteristikR [label=<char(X):=  min{ n∈ℕ | n⋅1=0 }>]
 Körper -> CharakteristikK [label=< char(X)∈{0}∪{p|p prime}>]
 CharakteristikR -> CharakteristikK[arrowhead=none,style=dotted]
 Körper->Vektorraum [label=< ⊕:V×V→V  ⊙:X×V→V  (V,⊕) abelsche Gruppe 
 𝛼,𝛽∈X, u,v∈V  (𝛼·𝛽)⊙v=𝛼⊙(𝛽⊙v)  𝛼⊙(u⊕v)=(𝛼⊙u)⊕(𝛼⊙v)  (𝛼+𝛽)⊙v=(𝛼⊙v)⊕(𝛼⊙v)  1⊙v=v>]

Vektorraum -> Basis [label=< B ⊆ V B linear unabhängig ᐸBᐳ=V >] 
 Basis -> foo6 [color=blue,arrowhead=none]

Vektorraum -> Dimension [label=< dim(V)=n ∈ℕ₀ oder dim(V)=∞>]
 Knxm -> LGS

Halbgruppe -> Hhom [label=< (H₁,★) und (H₂,□) zwei Halbgruppen f:H₁→H₂ strukturverträglich wenn f(a★b) = f(a)□f(b) für alle a,b∈H₁>]
 Monoid -> Hhom [label=< zusätzlich: f(e₁)=e₂>]
 Hhom -> Morphismen [arrowhead=none, color=blue]

Knxm1 -> Drucken [style=invis]
  Knxm1 -> { Transponiert ZR SR }
  Drucken -> kommDiag -> { Vorderseite Rueckseite }
  Rang -> { ZR SR } [arrowhead=none]
  ZR -> Transponiert [style=invis]
  SR -> ZSF [arrowhead=none]
  Transponiert -> Symat

ZSF -> Matrixring -> Matrixring2 [arrowhead=none]
  Symat -> invMatrix [style=invis]
  Matrixring2 -> invMatrix -> invMatrix2 -> invMatrix3

Unterhalbgruppe -> passtNicht_click [arrowhead=none]
}